El Vikipedio, la libera enciklopedio
La matricoj de Pauli estas tri 2×2 kompleksaj matricoj ofte uzitaj en matematiko kaj fiziko . La matricoj estas memadjunktaj kaj unitaj ; ili formas bazon de la vektora spaco de nulspuraj memadjunkta matricoj . Ilia simbolo estas la greka litero sigmo :
σ
1
,
σ
2
,
σ
3
{\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}
(sed kelka aŭtoroj uzas taŭon anstataŭe). Iliaj difinoj estas jene:
σ
1
=
σ
x
=
(
0
1
1
0
)
{\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
σ
2
=
σ
y
=
(
0
−
i
i
0
)
{\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}
σ
3
=
σ
z
=
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
La matricoj estas nomitaj pro Wolfgang Pauli , kiu ilin enkondukis en 1925 pro studio de kvantuma mekaniko .
Iafoje oni uzis la "nulan" matricon de Pauli
σ
0
=
I
{\displaystyle \sigma _{0}=I}
(t.e. la 2×2 identan matricon ) kune kun la normalaj tri matricoj de Pauli. Tiam, la kvar matricoj formas bazon de la vektora spaco de tutaj memadjunktaj matricoj (inkludante nenulspurajn matricojn).
Ili kvadratiĝas al identa matrico :
σ
1
2
=
σ
2
2
=
σ
3
2
=
−
i
σ
1
σ
2
σ
3
=
(
1
0
0
1
)
=
I
{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}
.
Ili estas nulspuraj kaj havas determinanton
−
1
{\displaystyle -1}
:
tr
σ
i
=
0
{\displaystyle \operatorname {tr} \sigma _{i}=0}
.
det
σ
i
=
−
1
{\displaystyle \det \sigma _{i}=-1}
Iliaj du ejgenoj estas ±1. Iliaj ejgenvektoroj estas jene:
ψ
x
+
=
1
2
(
1
1
)
,
ψ
x
−
=
1
2
(
1
−
1
)
,
ψ
y
+
=
1
2
(
1
i
)
,
ψ
y
−
=
1
2
(
1
−
i
)
,
ψ
z
+
=
(
1
0
)
,
ψ
z
−
=
(
0
1
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=&{\begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=&{\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}}.\end{array}}}
Iliaj komutkrampoj estas jene:
[
σ
a
,
σ
b
]
=
2
i
ϵ
a
b
c
σ
c
{\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\epsilon _{abc}\sigma _{c}}
{
σ
a
,
σ
b
}
=
2
δ
a
b
⋅
I
{\displaystyle \{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=2\delta _{ab}\cdot I}
.
(Jena
ε
a
b
c
{\displaystyle \varepsilon _{abc}}
estas la simbolo de Levi-Civita .)
Iliaj produtoj estas jene:
σ
a
σ
b
=
δ
a
b
⋅
I
+
i
∑
c
ϵ
a
b
c
σ
c
{\displaystyle \sigma _{a}\sigma _{b}=\delta _{ab}\cdot I+i\sum _{c}\epsilon _{abc}\sigma _{c}}
.
Iafoje oni uzas la vektoron de Pauli , kiu estas vektoro kun tri matricaj komponantoj.
σ
→
=
σ
1
x
^
+
σ
2
y
^
+
σ
3
z
^
{\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}}
.
Oni uzas ĝin konverti inter 3-dimensiaj vektoroj kaj 2×2 nulspuraj memadjunktaj matricoj jene:
a
→
⋅
σ
→
=
(
a
i
x
^
i
)
⋅
(
σ
j
x
^
j
)
=
a
i
σ
j
x
^
i
⋅
x
^
j
=
a
i
σ
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a_{i}{\hat {x}}_{i})\cdot (\sigma _{j}{\hat {x}}_{j})\\&=a_{i}\sigma _{j}{\hat {x}}_{i}\cdot {\hat {x}}_{j}\\&=a_{i}\sigma _{i}.\end{aligned}}}
Liboff, Richard L.. (2002) Introductory Quantum Mechanics . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5 .
Schiff, Leonard I.. (1968) Quantum Mechanics . McGraw-Hill. ISBN 007-Y85643-5.
Leonhardt, Ulf. (2010) Essential Quantum Optics . Cambridge University Press. ISBN 0-5211-4505-8 .